통계적 가설검정은 Sample에서 관찰한 Difference나 Relationship이 단순한 우연한 Sampling Variability로 설명될 수 있는지, 아니면 Population 수준에서 실제 Difference나 Relationship이 존재한다고 볼 충분한 Evidence가 있는지를 평가하는 과정입니다.

이 과정은 반드시 두 개의 서로 반대되는 가설에서 시작합니다.

바로 Null Hypothesis와 Alternative Hypothesis입니다.

Null Hypothesis는 일반적으로 Difference나 Relationship이 없다는 초기 가정이고, Alternative Hypothesis는 그와 논리적으로 반대되는 가설입니다.

첨부 교재에서도 Null Hypothesis H₀를 초기 가정으로 정의하며 일반적으로 Equality 또는 No Relationship의 형태를 갖는다고 설명합니다. Alternative Hypothesis H₁은 Null Hypothesis의 Logical Opposite입니다.

Hypothesis란 무엇인가?

Hypothesis는 Population Parameter나 Population Relationship에 대한 Statistical Statement입니다.

예를 들어 한 School District에서 학생들의 Population Mean SAT Score가 1200인지 알고 싶다고 가정해보겠습니다.

연구자가 실제 Population 전체를 조사하지 않고 Sample을 이용한다면 다음 질문을 하게 됩니다.

Population Mean SAT Score가 실제로 1200인가?

이 질문을 Statistical Hypothesis의 형태로 만들 수 있습니다.

Null Hypothesis

H₀: μ = 1200

그리고:

Alternative Hypothesis

H₁: μ ≠ 1200

입니다.

첨부 교재의 SATScore Example 역시 같은 구조를 사용합니다.

Null Hypothesis란 무엇인가?

Null Hypothesis는 보통 기호:

H₀

로 표현합니다.

Null이라는 단어는 일반적으로:

• No Difference
• No Effect
• No Association
• Equality

와 연결됩니다.

예를 들어 Population Mean을 기준값과 비교한다면:

H₀: μ = 1200

입니다.

두 Population Mean을 비교한다면:

H₀: μ₁ = μ₂

또는:

H₀: μ₁ – μ₂ = 0

이라고 표현할 수 있습니다.

Regression에서는:

H₀: β₁ = 0

처럼 표현할 수 있습니다.

즉 Null Hypothesis는 Statistical Test를 시작하기 위한 Baseline Claim입니다.

Alternative Hypothesis란 무엇인가?

Alternative Hypothesis는 일반적으로:

H₁

또는 경우에 따라:

Hₐ

로 표현합니다.

Null Hypothesis와 논리적으로 반대되는 Statement입니다.

예를 들어:

H₀: μ = 1200

이라면 Two-Sided Alternative는:

H₁: μ ≠ 1200

입니다.

즉:

Null

Population Mean이 1200이다.

반면:

Alternative

Population Mean이 1200이 아니다.

입니다.

왜 Null Hypothesis부터 시작할까?

통계적 가설검정에서는 처음부터 Alternative Hypothesis가 참이라고 가정하지 않습니다.

우선 Null Hypothesis가 참이라고 가정합니다.

그리고 실제 Sample Data가 이 가정과 얼마나 일치하지 않는지를 평가합니다.

구조는 다음과 같습니다.

H₀가 참이라고 가정

↓

Sample Data 관찰

↓

H₀ 아래에서 이런 Data가 얼마나 이례적인가?

↓

Evidence가 충분히 강한가?

↓

Yes

→ H₀ Reject

No

→ H₀ Fail to Reject

입니다.

왜 “Difference가 없다”를 기본 가정으로 둘까?

통계에서는 Sample에서 Difference가 관찰되었다는 사실만으로 Population Difference가 있다고 결론내릴 수 없기 때문입니다.

예를 들어 두 Group의 Sample Mean이:

Group A = 50

Group B = 52

라고 가정해보겠습니다.

Sample Difference는:

2

입니다.

하지만 Random Sampling을 하면 Population Mean이 같아도 Sample Mean이 정확하게 같을 필요는 없습니다.

따라서 먼저:

“Population에서는 Difference가 없다.”

라는 Null Hypothesis를 설정한 뒤 Sample Difference 2가 Sampling Variability만으로도 충분히 발생할 수 있는지 평가합니다.

Sample Difference가 0이 아니면 H₀가 틀린 것 아닐까?

아닙니다.

이 부분이 Hypothesis Testing을 이해하는 핵심입니다.

Population Mean이 동일하더라도 Random Sample에서는 다음처럼 나올 수 있습니다.

Sample 1

Group A = 50.1

Group B = 51.0

Sample 2

Group A = 49.8

Group B = 48.5

Sample 3

Group A = 50.5

Group B = 52.0

즉 Sample Difference는 자연스럽게 발생합니다.

따라서 질문은:

Difference가 있는가?

가 아니라:

현재 관찰된 Difference가 H₀가 참인 상황에서 설명하기 어려울 정도로 큰가?

입니다.

Statistical Hypothesis는 Sample Statistic에 대한 가설일까?

일반적으로 Population Parameter에 대한 가설입니다.

예를 들어:

H₀: μ = 1200

에서 μ는 Population Mean입니다.

Sample Mean x̄가 1200인지 검정하는 것이 아닙니다.

Sample Mean은 이미 Data에서 계산할 수 있는 값입니다.

우리가 모르는 것은 Population Mean μ입니다.

따라서:

Population Parameter

↓

Hypothesis 대상

그리고:

Sample Statistic

↓

Hypothesis를 평가하기 위한 Evidence

입니다.

Parameter와 Statistic의 관계를 다시 연결하면

전체 구조는 다음과 같습니다.

Population Mean μ

↓

Unknown

↓

Hypothesis 설정

H₀: μ = 1200

↓

Sample

↓

Sample Mean x̄ 계산

↓

H₀와 Sample Evidence 비교

↓

Statistical Decision

입니다.

즉 Hypothesis Testing은 Sample Statistic을 이용하여 Population Parameter에 대한 Statement를 평가하는 Inferential Procedure입니다.

첨부 교재의 SATScore Example

교재에서는 School Board가 Magnet School 학생들의 평균 SAT Combined Score 목표를:

1200

으로 설정했다고 가정합니다.

연구 질문은:

Population Mean SAT Score가 1200인가?

입니다.

따라서:

Null Hypothesis

H₀: μ = 1200

Alternative Hypothesis

H₁: μ ≠ 1200

로 설정합니다.

교재는 Null Hypothesis를 초기 가정으로, Alternative Hypothesis를 그 Logical Opposite로 설명합니다.

왜 Equality는 보통 Null Hypothesis에 들어갈까?

Statistical Test에서는 Null Hypothesis 아래에서 Test Statistic의 Sampling Distribution을 정의해야 합니다.

예를 들어:

H₀: μ = 1200

처럼 정확한 Parameter Value를 가정하면 이 조건에서 Sample Mean이 어떻게 변할지 계산할 수 있습니다.

그리고 실제 Sample Result가 그 Distribution에서 얼마나 Extreme한지를 평가할 수 있습니다.

따라서 Equality Statement가 H₀에 들어가는 경우가 많습니다.

Alternative Hypothesis는 연구자가 원하는 결과일까?

항상 그렇게 단순하게 보면 안 됩니다.

많은 연구에서는 실제로 Alternative Hypothesis에 관심이 있을 수 있습니다.

예를 들어 신약이 Placebo와 다르다는 것을 보여주려는 연구라면:

H₁: Treatment Difference ≠ 0

에 관심이 있을 수 있습니다.

하지만 Statistical Procedure는 여전히 H₀가 참이라는 가정에서 출발합니다.

즉:

Research Interest

와

Testing Starting Assumption

을 구분해야 합니다.

법정 비유로 이해하면 쉬운 이유

첨부 교재에서는 Hypothesis Testing을 Criminal Court에 비유합니다.

법정에서는 피고인이 무죄라는 Presumption of Innocence에서 시작합니다.

이를 Null Hypothesis에 비유합니다.

H₀

↓

Defendant is innocent

반면:

H₁

↓

Defendant is guilty

입니다.

검사는 Null Hypothesis와 반대되는 Evidence를 제시합니다.

Evidence가 사전에 정해둔 기준보다 충분히 강하면 H₀를 Reject합니다.

법정 비유의 핵심은 무엇일까?

가장 중요한 부분은 다음입니다.

Evidence가 충분하지 않아 피고인의 유죄를 입증하지 못했다고 해서:

“피고인이 반드시 무죄임이 증명되었다.”

라고 말하는 것은 아닙니다.

마찬가지로 Statistical Test에서 H₀를 Reject하지 못했다고 해서:

“Null Hypothesis가 참이라고 증명되었다.”

는 의미가 아닙니다.

첨부 교재도 Evidence가 충분하지 않을 경우 fail to reject the null hypothesis라고 표현하며, 이는 Null이 증명되었다는 뜻이 아니라고 강조합니다.

Reject와 Fail to Reject만 사용하는 이유

Hypothesis Test의 일반적인 Decision은 두 가지입니다.

Reject H₀

Sample Evidence가 H₀와 충분히 충돌함

Fail to Reject H₀

H₀를 Reject하기에 Evidence가 충분하지 않음

입니다.

여기에는:

Accept H₀

가 없습니다.

왜냐하면 Statistical Test는 일반적으로 H₀가 참이라는 것을 증명하는 Procedure가 아니기 때문입니다.

“Fail to Reject”는 왜 중요한 표현일까?

예를 들어:

H₀: μ = 1200

에 대해 p-value = 0.30이라고 가정해보겠습니다.

이 결과는:

Population Mean이 반드시 1200이다.

라는 뜻이 아닙니다.

정확한 의미는:

현재 Sample Evidence만으로는 μ = 1200이라는 Null Hypothesis와 충분히 충돌한다고 판단할 근거가 부족하다.

입니다.

즉 Evidence의 부족과 Equality의 증명은 다릅니다.

아주 작은 Sample을 생각해보자

Group A와 B 각각 3명만 있다고 가정하겠습니다.

실제로 Population Difference가 어느 정도 존재해도 Sample이 너무 작으면 Variability가 커서 Difference를 명확하게 검출하지 못할 수 있습니다.

이 경우:

p > 0.05

이고 H₀를 Fail to Reject할 수 있습니다.

하지만 이것이 두 Population이 동일하다는 증거는 아닙니다.

Sample Size와 Statistical Power가 부족했을 수도 있습니다.

Null Hypothesis를 Reject하면 Alternative Hypothesis가 완벽하게 증명될까?

역시 조심해야 합니다.

Reject H₀는 Sample Data가 H₀와 충분히 양립하기 어렵다는 Statistical Evidence를 의미합니다.

하지만 다음 문제들은 별도로 존재할 수 있습니다.

• Sampling Bias
• Measurement Error
• Model Assumption Violation
• Multiple Testing
• Data Quality Problem

따라서 Statistical Significance만으로 Scientific Truth 전체가 증명되었다고 말해서는 안 됩니다.

Statistical Hypothesis Test의 전체 단계

첨부 교재의 구조를 정리하면 다음과 같습니다.

1. Null Hypothesis 설정

↓

H₀

2. Alternative Hypothesis 설정

↓

H₁

3. Significance Level 결정

↓

α

4. Data 수집

↓

Sample Evidence

5. p-value 계산

↓

Evidence Strength

6. α와 p-value 비교

↓

Decision

입니다.

첨부 교재는 H₀와 H₁, α, p-value, 그리고 Decision Rule을 Hypothesis Testing의 핵심 규칙으로 제시합니다.

Significance Level α란 무엇인가?

Significance Level은 H₀를 Reject하기 위해 요구되는 Statistical Evidence의 기준과 연결됩니다.

보통:

α = 0.05

를 많이 사용합니다.

교재에서는 α를 Type I Error Rate로 설명합니다.

즉 H₀가 실제로 참인데도 Reject할 가능성을 사전에 일정 수준으로 제한합니다.

α는 언제 결정해야 할까?

매우 중요한 원칙입니다.

첨부 교재에서는 α는 Data를 수집하기 전에 연구자가 설정하고 p-value는 수집된 Data에서 계산된다고 명확하게 구분합니다.

즉:

Before Data

↓

α 결정

그리고:

After Data

↓

p-value 계산

입니다.

왜 Result를 본 뒤 α를 바꾸면 안 될까?

예를 들어 p-value가:

0.07

이라고 나왔다고 가정해보겠습니다.

원래 α = 0.05였다면 H₀를 Reject하지 않습니다.

그런데 Result를 본 뒤:

“α를 0.10으로 바꾸자.”

라고 한다면 Decision Rule을 결과에 맞춰 변경하는 셈입니다.

이는 사전에 정의된 Type I Error Control을 훼손할 수 있습니다.

따라서 Significance Level은 원칙적으로 Result를 보기 전에 정해야 합니다.

α = 0.05는 무엇을 의미할까?

Null Hypothesis가 참인 상황에서 사용하는 Statistical Procedure가 H₀를 잘못 Reject하는 Type I Error Probability를 5% 수준으로 관리한다는 의미와 연결됩니다.

즉:

H₀ 실제로 True

↓

Sample Randomness

↓

Rare Extreme Result 발생

↓

H₀ Reject

↓

Type I Error

입니다.

Type I Error란 무엇인가?

Type I Error는 True Null Hypothesis를 Reject하는 오류입니다.

쉽게 표현하면:

실제로 Difference 없음

↓

Statistical Test

↓

Difference 있다고 결론

입니다.

교재의 SATScore Example에서는 실제 Population Mean이 1200인데도:

“1200이 아니다.”

라고 결론내리는 오류에 해당합니다.

법정 비유에서 Type I Error는 무엇일까?

무고한 사람을 유죄라고 판결하는 상황에 비유할 수 있습니다.

즉:

H₀: Innocent

가 실제로 참인데:

H₀ Reject

↓

Guilty 판결

입니다.

이 오류의 비용이 매우 크다고 생각하면 더 작은 α를 사용할 수 있습니다.

첨부 교재도 Type I Error의 Cost가 매우 큰 경우 더 낮은 Significance Level을 고려할 수 있다고 설명합니다.

α를 0.01로 낮추면 어떻게 될까?

H₀를 Reject하기 위해 더 강한 Evidence가 필요합니다.

즉:

α = 0.05

보다:

α = 0.01

이 더 엄격한 기준입니다.

p-value가:

0.03

이라면:

α = 0.05에서는 Reject

하지만:

α = 0.01에서는 Fail to Reject

입니다.

따라서 Statistical Decision은 사전에 설정한 α에 따라 달라질 수 있습니다.

α를 낮추면 항상 좋은가?

그렇지 않습니다.

Type I Error를 줄이는 대신 실제 Difference가 존재해도 발견하지 못하는 Type II Error 가능성이 증가할 수 있습니다.

즉 Statistical Testing에는 Error 간 Trade-off가 존재합니다.

이 글에서는 Null과 Alternative 구조에 초점을 두지만, H₀를 너무 쉽게 Reject하지 않는 것과 실제 Effect를 놓치지 않는 것 사이의 균형도 중요합니다.

Type II Error란 무엇인가?

실제로 Alternative Hypothesis가 맞는데도 H₀를 Reject하지 못하는 오류입니다.

쉽게 표현하면:

실제로 Difference 있음

↓

Statistical Test

↓

Difference를 발견하지 못함

입니다.

이를 일반적으로 β와 연결해 생각할 수 있습니다.

그리고:

Power = 1 – β

입니다.

Statistical Power란 무엇인가?

실제로 Effect가 존재할 때 Null Hypothesis를 올바르게 Reject할 가능성과 연결됩니다.

Power는 다음 요소의 영향을 받을 수 있습니다.

• Sample Size
• Effect Size
• Variability
• α

따라서 Non-Significant Result를 해석할 때 단순히 “Effect 없음”이라고 말하지 않는 이유 중 하나입니다.

p-value는 어떤 역할을 할까?

첨부 교재에서는 Evidence의 Strength를 p-value로 측정한다고 설명합니다.

p-value는 Null Hypothesis가 참이라고 가정했을 때 현재 관찰된 Result 또는 그보다 더 Extreme한 Result가 얼마나 Compatibility가 낮은지를 평가하는 값입니다.

다음 글에서 p-value를 자세히 다루게 됩니다.

α와 p-value는 같은 값일까?

아닙니다.

α

연구자가 사전에 정하는 Decision Threshold

p-value

실제 Sample Data에서 계산되는 값

입니다.

첨부 교재도 이 둘을 명확하게 구분합니다.

Decision Rule은 어떻게 될까?

첨부 교재에서 제시하는 Rule은 매우 단순합니다.

p-value < α

↓

Reject H₀

p-value ≥ α

↓

Fail to Reject H₀

입니다.

예를 들어:

α = 0.05

p = 0.03

이라면:

0.03 < 0.05

↓

Reject H₀

입니다.

p = 0.08이라면?

α = 0.05에서:

0.08 ≥ 0.05

이므로:

Fail to Reject H₀

입니다.

하지만:

“H₀가 참이다.”

라고 말해서는 안 됩니다.

교재에서도 Statistical Test에서는 두 대상이 같거나 Relationship이 없다고 결론내리는 것이 아니라 Difference 또는 Relationship을 보여줄 충분한 Evidence를 확보하지 못했다고 해석해야 한다고 강조합니다.

Null Hypothesis는 항상 “차이가 없다”일까?

많은 기본 Statistical Test에서는 그렇게 표현됩니다.

하지만 보다 일반적으로는 특정 Parameter Value 또는 Constraint를 나타냅니다.

예를 들어:

One-Sample Mean

H₀: μ = 1200

Two-Sample Mean

H₀: μ₁ – μ₂ = 0

Regression

H₀: β₁ = 0

Correlation

H₀: ρ = 0

Association Test

H₀: 두 Categorical Variable 사이 Association 없음

입니다.

즉 Null은 Procedure에 따라 형태가 달라지지만 기본적으로 Reference 또는 No-Effect 상태를 정의합니다.

Alternative Hypothesis도 항상 “≠” 형태일까?

아닙니다.

Alternative Hypothesis는 Research Question에 따라:

• Two-Sided
• One-Sided

형태가 될 수 있습니다.

예를 들어:

Two-Sided

H₁: μ ≠ 1200

Upper One-Sided

H₁: μ > 1200

Lower One-Sided

H₁: μ < 1200

입니다.

Two-Sided Test란 무엇인가?

Population Parameter가 Reference Value보다 다른지를 평가합니다.

방향은 상관없습니다.

예:

H₀: μ = 1200

H₁: μ ≠ 1200

입니다.

즉:

μ > 1200

또는:

μ < 1200

둘 다 Alternative에 포함됩니다.

왜 Two-Sided에서는 양쪽 Tail을 볼까?

H₀와 충돌하는 Result가 두 방향에 있기 때문입니다.

예를 들어 H₀가 μ=1200이라면:

매우 높은 Sample Mean

도 H₀와 충돌하고,

매우 낮은 Sample Mean

도 H₀와 충돌합니다.

따라서 α=0.05라면 일반적으로 양쪽 Tail에 Evidence Region을 나누는 구조가 됩니다.

One-Sided Test는 무엇인가?

Direction을 사전에 특정합니다.

예를 들어 연구 질문이:

Population Mean이 1200보다 높은가?

라면:

H₀: μ ≤ 1200

H₁: μ > 1200

와 같은 방향성을 가진 Hypothesis를 생각할 수 있습니다.

교재 Appendix에서도 One-Sided t-Test를 별도로 다룹니다.

언제 One-Sided Test를 사용할까?

Research Question이 명확하게 한 방향만 의미가 있을 때 고려할 수 있습니다.

하지만 반드시 Direction을 Data를 보기 전에 정의해야 합니다.

Result가 예상 반대 방향으로 나왔다고 Two-Sided를 One-Sided로 바꾸는 것은 적절하지 않습니다.

Alternative Hypothesis 방향을 사후에 결정하면 왜 문제일까?

예를 들어 Sample Result를 보고:

“Mean이 높게 나왔으니까 H₁: μ > 1200으로 하자.”

라고 하면 Result에 맞춰 Hypothesis를 만든 셈입니다.

이는 Type I Error Control과 Statistical Validity를 훼손할 수 있습니다.

따라서 Hypothesis는 Study Question을 기반으로 사전에 정의해야 합니다.

Hypothesis는 Data를 본 뒤 만드는 것이 아닐까?

Exploratory Analysis에서는 Data에서 새로운 Hypothesis를 발견할 수 있습니다.

하지만 그 Hypothesis를 같은 Data로 Confirmatory Test하면 Data-driven Selection의 영향을 받을 수 있습니다.

이 경우 새로운 Independent Data에서 검증하는 것이 더 강한 Evidence를 제공할 수 있습니다.

즉:

Exploratory Hypothesis Generation

과

Confirmatory Hypothesis Testing

을 구분하는 것이 중요합니다.

Null Hypothesis의 실제 예: Two-Sample t-Test

두 Teaching Method를 비교한다고 가정해보겠습니다.

Population Mean Score를:

μ₁

μ₂

라고 하면:

H₀

μ₁ = μ₂

또는:

μ₁ – μ₂ = 0

입니다.

Alternative는:

H₁

μ₁ ≠ μ₂

입니다.

Sample Mean이 다르더라도 그 Difference가 Sampling Variability보다 충분히 큰지를 t-Test로 평가합니다.

ANOVA에서는 Hypothesis가 어떻게 달라질까?

세 Group을 비교한다고 가정해보겠습니다.

Population Means:

μ₁

μ₂

μ₃

이 있습니다.

Null Hypothesis는:

H₀

μ₁ = μ₂ = μ₃

입니다.

Alternative는 단순히:

μ₁ ≠ μ₂ ≠ μ₃

라는 뜻은 아닙니다.

정확한 개념은:

모든 Population Mean이 같은 것은 아니다.

즉 적어도 하나의 Population Mean이 다르다는 것입니다.

ANOVA H₁을 “모든 Group이 다르다”고 해석하면 왜 틀릴까?

예를 들어:

μ₁ = 10

μ₂ = 10

μ₃ = 20

이라고 가정해보겠습니다.

Group 1과 Group 2는 같습니다.

하지만 모든 Mean이 같지는 않습니다.

따라서 ANOVA Null Hypothesis는 거짓입니다.

즉 ANOVA H₁은:

적어도 하나의 Mean Difference가 존재

라는 의미입니다.

이후 ANOVA에서 매우 중요한 개념입니다.

Regression의 Null Hypothesis

Simple Linear Regression에서는 Population Slope를:

β₁

이라고 할 수 있습니다.

Null Hypothesis는:

H₀: β₁ = 0

입니다.

Alternative는:

H₁: β₁ ≠ 0

입니다.

첨부 교재의 Simple Linear Regression Section에서도 Model이 Baseline Model보다 Data를 더 잘 설명하지 않는 경우를 H₀와 연결하고, Slope가 0인지 검정합니다.

β₁ = 0은 무엇을 의미할까?

Simple Linear Regression에서 Population Slope가 0이면 X가 변해도 Expected Y가 Linear하게 증가하거나 감소하지 않는다는 의미와 연결됩니다.

따라서 Predictor가 Response의 Linear Variability를 유의하게 설명하는지 검정할 수 있습니다.

즉:

Regression Coefficient

도 Hypothesis Testing Framework 안에서 해석됩니다.

Multiple Regression에서는 어떻게 될까?

Multiple Regression의 Overall Model Test에서는:

H₀

β₁ = β₂ = … = βₖ = 0

입니다.

Alternative는:

모든 Slope가 0인 것은 아니다.

즉 적어도 하나의 Predictor Coefficient가 0이 아닙니다.

첨부 교재에서도 Multiple Regression Model의 Overall Hypothesis를 이와 같은 형태로 제시합니다.

Categorical Variable의 Association Test에서는?

Gender와 Survival 사이 Association이 있는지 분석한다고 가정해보겠습니다.

첨부 교재의 Titanic Example에서는 다음 Hypothesis를 사용합니다.

H₀

Gender와 Survival 사이 Association 없음

H₁

Gender와 Survival 사이 Association 있음

이라고 설명합니다.

즉 Null Hypothesis Framework는 Mean Comparison뿐 아니라 Categorical Data Analysis에도 적용됩니다.

“No Relationship”은 어떤 의미일까?

예를 들어 Gender와 Survival이 Independent하다면 Gender를 안다고 해서 Survival Probability가 달라지지 않는다는 의미와 연결됩니다.

반대로 Association이 있으면 Category에 따라 Survival Probability가 달라질 수 있습니다.

따라서 Chi-Square Test도:

No Association

이라는 H₀에서 시작합니다.

여러 Statistical Tests의 H₀ 구조

전체적으로 보면 다음처럼 연결됩니다.

One-Sample t-Test

H₀: μ = μ₀

Two-Sample t-Test

H₀: μ₁ = μ₂

ANOVA

H₀: μ₁ = μ₂ = … = μₖ

Correlation

H₀: ρ = 0

Simple Regression

H₀: β₁ = 0

Multiple Regression Overall Test

H₀: β₁ = β₂ = … = βₖ = 0

Chi-Square Association

H₀: 두 변수 사이 Association 없음

즉 Procedure는 달라도 Reference Condition을 H₀로 정의하고 Sample Evidence로 평가하는 구조는 동일합니다.

Null Hypothesis는 연구 질문을 수학적으로 바꾸는 과정이다

예를 들어 일반적인 질문:

Treatment A와 B가 다른가?

를 Statistical Hypothesis로 바꾸면:

H₀: μA – μB = 0

H₁: μA – μB ≠ 0

이 됩니다.

또 질문:

Age가 Outcome과 Linear Relationship이 있는가?

라면:

H₀: βAge = 0

H₁: βAge ≠ 0

이 됩니다.

즉 Hypothesis를 명확하게 정의하면 연구 질문과 Statistical Model이 연결됩니다.

좋은 Hypothesis는 Parameter가 명확해야 한다

단순히:

“두 Group이 다르다.”

라고만 하면 무엇이 다른지 불분명합니다.

다음 가운데 무엇을 비교하는지 명확해야 합니다.

• Mean
• Median
• Proportion
• Odds
• Regression Coefficient
• Distribution

예를 들어:

Population Mean Difference

를 검정하는 것과:

Population Proportion Difference

를 검정하는 것은 다른 Statistical Procedure를 요구할 수 있습니다.

Response Variable도 명확해야 한다

예를 들어 Treatment Effect를 검정한다고 할 때:

• Blood Pressure
• Cognitive Score
• Survival
• Response Rate

중 무엇을 Outcome으로 사용하는지에 따라 Hypothesis가 달라집니다.

따라서 Statistical Hypothesis는 단순히 Treatment Name 두 개만으로 정의되지 않습니다.

Time Point도 중요할 수 있다

예를 들어:

Week 12

와:

Week 52

의 Treatment Difference는 서로 다른 Hypothesis입니다.

따라서 Clinical Trial 같은 연구에서는 Endpoint와 Time Point가 Hypothesis 정의에 포함될 수 있습니다.

즉 Hypothesis가 명확하려면:

Population

Endpoint

Comparison

Time Point

Parameter

가 정의되어야 할 수 있습니다.

Hypothesis Testing과 Estimand의 관계

더 확장해서 보면 Statistical Hypothesis는 무엇을 비교하려는지 명확하게 정의된 Estimand와 연결됩니다.

예를 들어 단순히:

“Treatment가 효과가 있는가?”

보다:

특정 Population에서 특정 Time Point의 Mean Change Difference가 0인가?

처럼 정의하면 Statistical Question이 훨씬 명확해집니다.

이처럼 좋은 가설검정은 Test Procedure부터 고르는 것이 아니라 무엇을 추정하고 비교하려는지 정의하는 것에서 시작합니다.

SAS에서 Hypothesis는 어디에 나타날까?

다양한 SAS Statistical Task Output에는 Hypothesis와 연결된:

• Test Statistic
• Degrees of Freedom
• p-value
• Confidence Interval

등이 나타납니다.

예를 들어 t-Test에서는 t Statistic과 p-value를 이용해 Mean Hypothesis를 평가합니다.

Regression에서는 t 또는 F Statistic을 이용해 Regression Coefficient나 Overall Model Hypothesis를 평가합니다.

즉 SAS Output의 p-value를 해석하려면 먼저 어떤 H₀를 검정한 p-value인지 알아야 합니다.

p-value 숫자만 보는 것이 위험한 이유

예를 들어 SAS Output에:

p = 0.01

이 있다고 가정해보겠습니다.

이 숫자만으로는 의미를 완전히 알 수 없습니다.

다음 질문이 먼저 필요합니다.

어떤 Null Hypothesis를 검정했는가?

ANOVA Overall Test인지,

특정 Regression Coefficient Test인지,

Pairwise Comparison인지에 따라 의미가 다릅니다.

p-value를 읽기 전에 H₀를 읽어야 합니다.

같은 Output에 여러 p-value가 있을 수 있는 이유

Regression Output을 예로 들면:

• Overall Model F Test p-value
• 각 Regression Coefficient t Test p-value

가 따로 존재할 수 있습니다.

각각 서로 다른 Null Hypothesis를 검정합니다.

따라서 Output에서 가장 작은 p-value만 찾는 방식은 적절하지 않습니다.

Overall Hypothesis와 Individual Hypothesis의 차이

Multiple Regression에서 Overall H₀는:

β₁ = β₂ = … = βₖ = 0

입니다.

하지만 특정 Predictor에 대한 H₀는:

βⱼ = 0

입니다.

Overall Test가 Significant해도 모든 Predictor가 Significant하다는 의미는 아닙니다.

적어도 하나의 Predictor가 Model에 기여한다는 Evidence를 의미할 수 있습니다.

ANOVA에서도 같은 원리가 있다

Overall ANOVA H₀는:

모든 Group Mean 동일

입니다.

Overall Test가 Significant하면:

적어도 하나의 Mean이 다르다.

라는 Evidence가 생깁니다.

하지만 어느 Group과 어느 Group이 다른지는 바로 알 수 없습니다.

그래서 Post Hoc Test가 필요합니다.

즉 Hypothesis의 범위를 이해해야 SAS Output을 올바르게 읽을 수 있습니다.

Statistical Hypothesis와 Scientific Hypothesis는 같을까?

완전히 동일하지 않을 수 있습니다.

Scientific Hypothesis는 더 넓은 인과적 또는 이론적 주장을 포함할 수 있습니다.

예를 들어:

Drug X가 Disease Progression을 늦춘다.

라는 Scientific Hypothesis를 Statistical Analysis에서는 특정 Endpoint의 Population Mean Difference나 Hazard Ratio 등으로 표현합니다.

따라서 Statistical Significance가 Scientific Mechanism 전체를 증명한다고 해석해서는 안 됩니다.

Null Hypothesis Reject가 Causality를 증명할까?

아닙니다.

Association이나 Mean Difference가 Statistical Significance를 보이더라도 Causal Interpretation에는 Study Design이 중요합니다.

예를 들어 Observational Study에서 Predictor와 Outcome 사이 Regression Coefficient가 Significant해도 Confounding이 존재할 수 있습니다.

따라서:

Statistical Association

≠

Causality

입니다.

Randomized Experiment에서는 인과 해석이 더 강해질 수 있다

Randomization을 잘 수행하고 Study Design이 적절하다면 Treatment Difference에 대한 Causal Interpretation이 더 강해질 수 있습니다.

하지만 Hypothesis Test 자체가 Randomization을 대신해주는 것은 아닙니다.

Statistical Test의 Meaning은 Study Design과 함께 해석해야 합니다.

Null Hypothesis가 현실적으로 정확히 0일 가능성이 낮다면?

실제 복잡한 Population에서는 아주 작은 Difference가 존재할 수 있습니다.

매우 큰 Sample에서는 아주 작은 Difference도 H₀: Difference = 0을 Reject할 수 있습니다.

따라서 Statistical Significance만 확인해서는 안 됩니다.

Effect Size와 Practical Significance가 필요합니다.

이후 28번 글에서 자세히 다룹니다.

Large Sample에서 H₀가 쉽게 Reject될 수 있는 이유

Sample Size가 커지면 Standard Error가 작아집니다.

따라서 동일한 작은 Effect도 Test Statistic이 커질 수 있습니다.

예를 들어:

Difference = 0.1

이어도 n이 매우 크면 p-value가 매우 작아질 수 있습니다.

하지만 Difference 0.1이 실제로 중요한지는 별개의 문제입니다.

Small Sample에서는 실제 Effect를 놓칠 수 있다

반대로 n이 매우 작으면 Standard Error가 커질 수 있습니다.

실제 Population Difference가 있어도 Statistical Evidence가 충분하지 않을 수 있습니다.

따라서:

Fail to Reject H₀

를:

No Effect

로 단순 해석하면 안 됩니다.

Confidence Interval을 함께 확인하는 것이 중요합니다.

Confidence Interval과 Hypothesis가 연결되는 방식

앞선 글에서 살펴봤듯 Two-Sided α=0.05 Test는 대응하는 95% Confidence Interval과 연결됩니다.

예를 들어:

H₀: Difference = 0

이고 95% CI가:

2 ~ 8

이라면 0을 포함하지 않습니다.

따라서 H₀ Reject와 연결됩니다.

반대로:

-2 ~ 8

이라면 0을 포함합니다.

따라서 H₀를 Fail to Reject합니다.

Confidence Interval을 같이 보면 왜 좋은가?

p-value는 Decision을 도와주지만 Effect Magnitude를 충분히 보여주지 않습니다.

Confidence Interval은:

• Point Estimate
• Direction
• Precision
• Null Value 포함 여부

를 보여줍니다.

따라서:

Hypothesis Test

Confidence Interval

을 같이 보는 것이 좋습니다.

Null Hypothesis를 Reject하지 못한 두 Study 비교

Study A

Difference = 0.1

95% CI = -0.1 ~ 0.3

Study B

Difference = 0.1

95% CI = -100 ~ 100

둘 다 0을 포함하므로 H₀를 Reject하지 못할 수 있습니다.

하지만 Study A는 Effect가 매우 작을 가능성을 상당히 정밀하게 보여줍니다.

Study B는 거의 아무것도 배제하지 못합니다.

즉 같은 Decision이라도 Statistical Information의 정도는 크게 다를 수 있습니다.

Hypothesis Testing은 Yes/No Machine이 아니다

통계 결과를:

Significant

또는:

Not Significant

두 단어로만 끝내면 많은 정보를 잃습니다.

더 좋은 해석은 다음을 함께 보는 것입니다.

Hypothesis

↓

무엇을 검정했는가?

Effect Estimate

↓

Difference는 얼마나 큰가?

Confidence Interval

↓

Uncertainty는?

p-value

↓

H₀와 Evidence의 Compatibility는?

Practical Context

↓

실제로 중요한가?

입니다.

“p < 0.05면 H₁이 95% 확률로 참”일까?

아닙니다.

p-value는 H₁이 참일 Probability를 계산하지 않습니다.

또 α=0.05가 H₁이 95% 확률로 참이라는 의미도 아닙니다.

이 부분은 다음 글인 p-value에서 자세히 다룹니다.

“p > 0.05면 H₀가 95% 확률로 참”일까?

역시 아닙니다.

p-value는 H₀ 자체의 Probability가 아닙니다.

따라서 Hypothesis Testing Decision을 Bayesian Posterior Probability처럼 해석해서는 안 됩니다.

Statistical Evidence와 Truth를 구분해야 하는 이유

Hypothesis Testing은 Sample Evidence를 평가하는 Procedure입니다.

Result는 다음과 같이 표현하는 것이 더 적절합니다.

Reject H₀

↓

H₀와 충분히 충돌하는 Statistical Evidence 있음

Fail to Reject H₀

↓

H₀를 Reject할 충분한 Statistical Evidence 없음

입니다.

즉 Statistical Test는 절대적인 Truth 판정기가 아닙니다.

Multiple Testing이 Null Hypothesis와 연결되는 이유

Hypothesis를 하나가 아니라 수십 개 검정하면 각각 α=0.05를 사용했을 때 적어도 하나의 False Positive가 발생할 가능성이 커질 수 있습니다.

예를 들어 실제로 모든 H₀가 True인 많은 Test를 수행하면 우연히 p<0.05인 결과가 일부 발생할 수 있습니다.

이 때문에 Multiple Comparison에서는 Family-wise Error 등을 관리하는 방법이 필요합니다.

이후 ANOVA Post Hoc Test에서 다시 연결됩니다.

“20번 검정하면 반드시 1번 False Positive가 나온다”는 뜻일까?

아닙니다.

α=0.05는 장기적인 Error Probability와 연결됩니다.

20개 Test마다 반드시 정확히 하나가 False Positive라는 의미는 아닙니다.

Randomness가 있기 때문에 어떤 연구에서는 0개일 수도 있고 여러 개일 수도 있습니다.

Pre-Specified Hypothesis가 중요한 이유

주요 Hypothesis를 사전에 명확하게 정의하면:

• 선택적 Reporting
• Data-driven Testing
• Multiplicity 문제

를 관리하는 데 도움이 됩니다.

특히 Confirmatory Analysis에서는 어떤 Endpoint와 Comparison을 Primary하게 검정하는지 명확하게 정의해야 합니다.

Null과 Alternative가 겹치면 안 되는 이유

두 Hypothesis는 서로 논리적으로 구분되어야 합니다.

예를 들어:

H₀: μ = 100

H₁: μ ≠ 100

이면 두 Hypothesis는 서로 배타적입니다.

같은 Parameter Value가 동시에 H₀와 H₁에 속하면 Decision Structure가 명확하지 않습니다.

Hypotheses는 전체 가능한 상황을 포괄해야 할까?

일반적인 Test에서는 H₀와 H₁가 Parameter Space를 구분하는 구조를 가집니다.

예를 들어 Two-Sided Mean Test에서:

H₀: μ = 100

H₁: μ ≠ 100

이면 μ가 가질 수 있는 모든 값이 두 영역 가운데 하나에 속합니다.

One-Sided Test에서도 Boundary를 명확하게 정의해야 합니다.

Equality와 Inequality 기호를 정확하게 써야 하는 이유

예를 들어 One-Sided Test에서:

H₁: μ > 100

이라면 Equality는 H₀ 쪽에 포함됩니다.

즉:

H₀: μ ≤ 100

H₁: μ > 100

와 같은 구조입니다.

왜냐하면 Statistical Test의 Null Distribution을 Boundary Value에서 정의하기 때문입니다.

SAS Output에서 Hypothesis Value를 확인해야 한다

One-Sample t-Test에서는 SAS Output에 Hypothesized Mean이 표시될 수 있습니다.

예:

H₀: Mean = 1200

Sample Mean과 Hypothesized Mean Difference를 기반으로 t Statistic이 계산됩니다.

따라서 Analysis를 실행한 뒤 Hypothesized Value가 실제 연구 질문과 맞는지 확인해야 합니다.

잘못된 Null Value를 넣으면 어떻게 될까?

예를 들어 원래 비교 기준이 1200인데 실수로:

H₀: μ = 1000

을 Test했다고 가정해보겠습니다.

SAS는 정상적으로:

t Statistic

p-value

를 계산합니다.

하지만 Research Question과 다른 Hypothesis를 검정한 것입니다.

즉 Software가 Error Message를 내지 않아도 Statistical Analysis는 잘못될 수 있습니다.

SAS가 계산을 성공했다는 것과 올바른 Hypothesis를 검정했다는 것은 다른 문제입니다.

Unit가 다르면 Hypothesis Value도 잘못될 수 있다

예를 들어 Weight가 kg 단위인데 Hypothesized Value는 lb 기준으로 입력했다면 결과가 무의미해질 수 있습니다.

따라서 Hypothesis 설정에서도:

• Variable
• Unit
• Scale
• Direction

을 확인해야 합니다.

Derived Variable의 Hypothesis도 정의를 확인해야 한다

Change from Baseline이:

Follow-up – Baseline

인지:

Baseline – Follow-up

인지에 따라 Positive Difference의 의미가 달라집니다.

따라서 Alternative Hypothesis 방향을 정의할 때 Derivation Direction을 반드시 확인해야 합니다.

Higher Score가 좋은지 나쁜지도 중요하다

예를 들어 Clinical Score에서:

Higher = Worse

라면 Negative Treatment Difference가 Improvement를 의미할 수 있습니다.

반대로:

Higher = Better

라면 Positive Difference가 Improvement일 수 있습니다.

따라서 One-Sided Alternative를 설정할 때 Score Direction이 매우 중요합니다.

Hypothesis를 글로 먼저 쓰는 것이 도움이 되는 이유

Formula부터 작성하기보다 먼저 연구 질문을 자연어로 표현하면 오류를 줄일 수 있습니다.

예:

Research Question

Treatment A와 B의 Population Mean Outcome이 다른가?

↓

Statistical Parameter

μA – μB

↓

Null Hypothesis

H₀: μA – μB = 0

↓

Alternative Hypothesis

H₁: μA – μB ≠ 0

이 흐름이 좋습니다.

Statistical Test를 먼저 고르면 안 되는 이유

“t-Test를 해야겠다.”

라고 Procedure부터 결정하면 실제 Research Question과 Variable Type을 놓칠 수 있습니다.

먼저:

무엇을 알고 싶은가?

↓

어떤 Parameter인가?

↓

H₀와 H₁는 무엇인가?

↓

Data Structure는?

↓

어떤 Statistical Test가 적절한가?

순서로 생각하는 것이 좋습니다.

Null Hypothesis는 Model마다 달라진다

같은 Dataset에서도 질문에 따라 서로 다른 H₀를 검정할 수 있습니다.

예를 들어 Age와 Outcome Data가 있다고 해보겠습니다.

Question 1

Mean Outcome이 50인가?

↓

One-Sample Test

Question 2

Male과 Female Mean Outcome이 다른가?

↓

Two-Sample Test

Question 3

Age와 Outcome 사이 Linear Association이 있는가?

↓

Regression

각각 다른 Null Hypothesis를 가집니다.

같은 p-value라도 의미가 다른 이유

모두 p=0.01이라고 하더라도:

• Mean = 50 Test
• Group Difference Test
• Regression Slope Test

는 완전히 다른 Hypothesis를 평가합니다.

따라서 p-value 자체가 아니라 그 p-value가 어떤 H₀에서 나온 것인지가 중요합니다.

Null Hypothesis와 Alternative Hypothesis의 전체 구조

전체 흐름을 정리하면 다음과 같습니다.

Research Question

↓

무엇을 비교할 것인가?

↓

Population Parameter 정의

↓

μ

μ₁ – μ₂

β

ρ

등

↓

Null Hypothesis H₀

↓

Equality

No Difference

No Relationship

↓

Alternative Hypothesis H₁

↓

Difference

Relationship

↓

Significance Level α 사전 결정

↓

Data 수집

↓

Test Statistic 계산

↓

p-value 계산

↓

p-value < α?

Yes

↓

Reject H₀

No

↓

Fail to Reject H₀

↓

Effect Estimate + CI + Context와 함께 해석

입니다.

흔한 오해 정리

“Null Hypothesis는 연구자가 믿는 가설이다”

반드시 그렇지 않습니다.

Statistical Testing을 시작하기 위한 Reference Assumption입니다.

“Alternative Hypothesis가 연구자가 원하는 결과이므로 처음부터 H₁가 참이라고 가정한다”

아닙니다.

Hypothesis Test는 H₀가 참이라는 가정에서 Sample Evidence를 평가합니다.

“Sample Mean이 Reference Value와 다르면 H₀는 틀렸다”

아닙니다.

Sampling Variability 때문에 Sample Statistic은 Reference에서 자연스럽게 벗어날 수 있습니다.

“p < 0.05이면 H₀가 5% 확률로 참이다”

아닙니다.

p-value는 H₀의 Probability가 아닙니다.

“p > 0.05이면 H₀가 참이다”

아닙니다.

H₀를 Reject하기 위한 Evidence가 충분하지 않다는 의미입니다.

“Fail to Reject와 Accept는 같다”

아닙니다.

첨부 교재에서도 Hypothesis Testing에서는 Equality나 No Relationship을 결론내리는 것이 아니라 Difference 또는 Relationship을 보여주지 못했다고 해석해야 한다고 강조합니다.

“H₀를 Reject하면 H₁가 과학적으로 완전히 증명된다”

아닙니다.

Study Design, Bias, Assumption, Data Quality를 함께 고려해야 합니다.

“α는 p-value를 본 뒤 정하면 된다”

아닙니다.

α는 Data Collection 전에 설정되고 p-value는 Data에서 계산됩니다.

“α=0.05는 자연법칙이다”

아닙니다.

Type I Error의 Cost와 연구 Context 등을 고려해 정하는 Significance Level입니다.

“Two-Sided와 One-Sided는 Result를 보고 선택할 수 있다”

아닙니다.

Alternative Direction은 Research Question에 따라 사전에 결정해야 합니다.

“ANOVA H₁는 모든 Group Mean이 서로 다르다는 뜻이다”

아닙니다.

적어도 하나의 Population Mean이 다르다는 의미입니다.

“Regression p-value가 작으면 X가 Y의 원인이다”

아닙니다.

Statistical Association과 Causality는 별개입니다.

SAS에서 Hypothesis Testing Result를 확인하는 순서

SAS Output을 볼 때 다음 순서를 사용하는 것이 좋습니다.

1. 어떤 Analysis인가?

t-Test?

ANOVA?

Regression?

2. 어떤 Parameter를 검정하는가?

Mean?

Mean Difference?

Slope?

3. H₀는 무엇인가?

Equality?

No Association?

4. H₁는 무엇인가?

Two-Sided?

One-Sided?

5. α는 얼마인가?

0.05?

0.01?

6. Effect Estimate는 얼마인가?

실제 Difference 크기 확인

7. Confidence Interval은?

Precision 확인

8. p-value는?

H₀에 대한 Evidence 평가

9. Decision은?

Reject / Fail to Reject

10. Practical Meaning은?

실제 연구 Context에서 해석

이 순서를 따르면 p-value 하나만 보고 Result를 판단하는 실수를 줄일 수 있습니다.

왜 Null과 Alternative를 먼저 이해해야 할까?

다음 주제들이 모두 이 구조 위에서 만들어지기 때문입니다.

p-value

↓

H₀가 참이라는 조건에서 계산

Significance Level

↓

H₀ Reject 기준

Type I Error

↓

True H₀를 Reject

Type II Error

↓

False H₀를 Reject하지 못함

t-Test

↓

Population Mean Hypothesis

ANOVA

↓

Multiple Population Mean Hypothesis

Regression

↓

Population Regression Parameter Hypothesis

즉 Null과 Alternative Hypothesis를 이해하지 않고 p-value만 공부하면 Statistical Testing의 Logic을 놓치게 됩니다.

핵심 정리

Statistical Hypothesis Testing은 Null Hypothesis와 Alternative Hypothesis를 명확하게 정의하는 것에서 시작합니다.

첨부 교재에서는 Null Hypothesis H₀를 초기 가정으로 설명하며 일반적으로:

Equality

또는:

No Relationship

형태를 갖는다고 정의합니다.

Alternative Hypothesis H₁은 그 Logical Opposite입니다.

SATScore Example에서는:

H₀: μ = 1200

H₁: μ ≠ 1200

이라는 구조를 사용합니다.

Hypothesis Test는 먼저 H₀가 참이라고 가정한 상태에서 Sample Data를 관찰합니다.

그 다음 Sample Evidence가 H₀와 얼마나 충돌하는지를 평가합니다.

전체 구조는 다음과 같습니다.

H₀ 설정

↓

No Difference / Equality

↓

H₁ 설정

↓

Difference / Relationship

↓

α 설정

↓

Data 수집

↓

p-value 계산

↓

p < α

Reject H₀

p ≥ α

Fail to Reject H₀

첨부 교재 역시 이 Decision Rule을 명확하게 제시합니다.

여기서 가장 중요한 것은 Fail to Reject와 Accept를 구분하는 것입니다.

교재의 법정 비유처럼 Evidence가 충분하지 않아 유죄를 입증하지 못했다고 해서 무죄를 과학적으로 증명한 것은 아닙니다. Hypothesis Test 역시 H₀를 Reject하지 못했다고 해서 H₀가 참임을 증명하는 것은 아닙니다.

또 α와 p-value도 구분해야 합니다.

α

↓

Data를 보기 전에 설정하는 Type I Error 기준

p-value

↓

수집된 Sample Data로부터 계산하는 Evidence Measure

입니다.

그리고 Statistical Procedure가 달라져도 기본 원리는 동일합니다.

Mean Test

↓

H₀: μ = μ₀

Two-Sample Test

↓

H₀: μ₁ = μ₂

Regression

↓

H₀: β = 0

Chi-Square Association Test

↓

H₀: Association 없음

첨부 교재의 Regression과 Categorical Data Analysis에서도 동일한 Null-versus-Alternative 구조가 반복됩니다.

가설검정에서 가장 먼저 물어야 할 것은 “p-value가 몇인가?”가 아니라 “지금 어떤 Null Hypothesis를 검정하고 있는가?”입니다.

H₀와 H₁를 정확하게 정의해야 이후 p-value, Statistical Significance, t-Test, ANOVA, Regression Output을 올바르게 해석할 수 있습니다.

함께 읽으면 좋은 글

• p-value의 의미: 통계적 유의성을 판단할 때 실제로 계산되는 값
• Statistical Significance와 Practical Significance의 차이: 유의한 결과가 반드시 중요한 것은 아닌 이유
• One-Sample t-Test의 원리: 하나의 표본 평균을 기준값과 비교하는 방법
• Two-Sample t-Test의 구조: 두 독립 집단 평균의 차이를 검정하는 방식
• 95% Confidence Interval의 정확한 해석: 흔히 오해하는 확률 개념 정리

참고한 자료

• SAS Enterprise Guide: ANOVA, Regression, and Logistic Regression Course Notes
• Chapter 2 Introduction to Statistics
• Hypothesis Testing
• Statistical Hypothesis Test
• Comparing Alpha and the p-Value
• Judicial Analogy
• Simple Linear Regression Model Hypothesis Test
• Multiple Linear Regression Model Hypothesis Test
• Tests of Association